题目内容
设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，证明：x∈（0，5）时，
成立．
【答案】分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可求得函数的单调区间；
（Ⅱ）a=1，f（x）=ln（x+1）+x，
等价于ln（x+1）+
＜0，求出函数的最值，即可求得结论．
解答：（Ⅰ）解：函数的定义域为（-1，+∞）
求导函数可得f′（x）=
当a≥0时，
，函数单调递增，单调增区间为（-1，+∞）；
当a＜0时，
，函数在（-1，-1-
）内单调递增，单调增区间为（-1，-1-
）
，函数在（-1-
，+∞）内单调递减，单调减区间为（-1-
，+∞）；
（Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=ln（x+1）+x，
等价于ln（x+1）+
＜0
令g（x）=ln（x+1）+
，则g′（x）=
∵x∈（0，5），∴函数在（0，
）上单调递增，在（
，5）上单调递减
∴g（x）max=ln（
+1）+
＜0
∴x∈（0，5）时，
成立．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查函数的最值，属于中档题．
（Ⅱ）a=1，f（x）=ln（x+1）+x，
等价于ln（x+1）+＜0，求出函数的最值，即可求得结论．解答：（Ⅰ）解：函数的定义域为（-1，+∞）
求导函数可得f′（x）=
当a≥0时，
，函数单调递增，单调增区间为（-1，+∞）；当a＜0时，
，函数在（-1，-1-）内单调递增，单调增区间为（-1，-1-），函数在（-1-，+∞）内单调递减，单调减区间为（-1-，+∞）；（Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=ln（x+1）+x，
等价于ln（x+1）+＜0令g（x）=ln（x+1）+
，则g′（x）=∵x∈（0，5），∴函数在（0，
）上单调递增，在（，5）上单调递减∴g（x）max=ln（
+1）+＜0∴x∈（0，5）时，
成立．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查函数的最值，属于中档题．
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