Question

已知曲线C：y=

1

x

的一条切线l与两坐标轴交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为

 

．

Answer 1

分析：求出函数的定义域，设出切点，求出切点处的导数，由点斜式得到切线方程，求出切线在x轴和y轴上的截距，得到AB的长度，由基本不等式求得线段AB长度的最小值．

解答：解：函数y=

1

x

的定义域为（0，+∞），
设(x0，

1

x0

) （x₀＞0）为曲线C：y=

1

x

上的任意一点，
∵y′|x=x0=-

1

2 x03

，
∴曲线C在(x0，

1

x0

)处的切线方程为y-

1

x0

=-

1

2 x03

(x-x0)．
取y=0，得x=3x₀，
取x=0，得y=

3

2 x0

．
∴|AB|=

9x02+ 9 4x0

=

9x02+ 9 8x0 + 9 8x0

≥

3 3 9x02• 9 8x0 • 9 8x0

=

3× 9 4

=

3 3

2

．
故答案为：

3 3

2

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求函数最值，是中档题．