Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且，数列{b_n}中，b₁=1，．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n
（2）设，求数列{c_n}的前n项和T_n．
（3）设，若对于一切n∈N^*，有λ＞h_n恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，可得当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，两式相减可得a_n=2a_n-1，从而可知数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，故可得a_n=2ⁿ；根据，两边取倒数，可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求{b_n}的通项
（2），所以数列{c_n}的前n项和T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ，利用错位相减法可求数列{c_n}的前n项和
（3）=，可判断n=1，2时，h_n+1＞h_n；n≥3时，h_n+1＜h_n，故n=3时，h_n取得最大值，从而可求λ的取值范围．
解答：解：（1）由，可得当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2
两式相减可得：a_n=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1
∴（n≥2）
∵n=1时，S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n=2ⁿ
∵
∴
∵b₁=1，∴
∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列
∴
∴
（2）
∴数列{c_n}的前n项和T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ①
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹②
①-②可得：-T_n=1×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=-6+2ⁿ⁺²-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
∴T_n=6-2ⁿ⁺²+（2n-1）×2ⁿ⁺¹；
（3）=
∴-=
∴n=1，2时，h_n+1＞h_n；n≥3时，h_n+1＜h_n
∴n=3时，h_n取得最大值
∵对于一切n∈N^*，有λ＞h_n恒成立，
∴，
∴λ的取值范围为．
点评：本题综合考查等差数列与等比数列，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，考查恒成立问题，解题的关键是研究数列通项的特点，有针对性的选择方法．