Question

在△ABC中，三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（-1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部运动，若点P满足

PA

+2

PB

+3

PC

=

0

，则S△_PAC：S△ABC=

1：3

．

Answer 1

分析：延长PB到B'，使PB'=2PB，延长PC到C'，使PC=3PC'，根据

PA

+

PB′

+

PC’

=

0

可知P是△AB'C'的重心，然后设S△PAB'=S△PAC'=S△PB'C'=k，然后将三个三角形的面积用k表示，即可求出所求．

解答：解：如图：延长PB到B'，使PB'=2PB，延长PC到C'，使PC=3PC'
则

PA

+

PB′

+

PC’

=

0

，P是△AB'C'的重心，
则S△PAB'=S△PAC'=S△PB'C'=k
S₁=

1

2

S△PAB'=

1

2

k，S₃=

1

3

S△PAC'=

1

3

k
S₂=

1

2

PB×PC×sin∠BPC=

1

6

S△PB'C'=

1

6

k
故S₁：S₂：S₃=

1

2

：

1

6

：

1

3

=3：1：2
∴S△_PAC：S△_ABC=1：3
故答案为：1：3

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及

PA

+

PB′

+

PC’

=

0

则P是△AB'C'的重心的应用，属于中档题．