Question

在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是D₁D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C₁G的中点，应用空间向量方法求解下列问题.

(1)求证:EF⊥B₁C;

(2)求EF与C₁G所成的角的余弦值;

(3)求FH的长.

Answer 1

解：如图,建立空间直角坐标系D—xyz,D为坐标原点,则有E(0,0,)、F（，，0）、C（0，1，0）、C₁（0，1，1）、B₁（1，1，1）、G（0，，0）.

?

(1)=( ,,0)-(0,0, )=(,,-),?

=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1),?

∴·=×（-1）+×0+（-）×（-1）=0，?

∴⊥，即EF⊥B₁C.?

(2)∵=(0,,0)-(0,1,1)=(0,- ,-1)，?

∴||=.?

又·=×0+×（-）+（-）×（-1）=，||=，

∴cos〈,〉==.?

即异面直线EF与C₁G所成角的余弦值为.?

(3)∵F(,,0)、H（0，，），?

∴=（-，，），?

∴||==.

点评：本题主要是利用空间向量的基础知识,证明异面直线垂直,求异面直线所成的角及线段的长度.应用空间向量的坐标运算解决立体几何问题,使复杂的线面关系的论证、角、距离的计算变得程序化.