Question

在△ABC中,已知AB=,cosB=,AC边上的中线BD=5,求sinA的值.

Answer 1

解法一:设E为BC的中点,

连结DE,则DE∥AB,且DE=AB=,

设BE=x.

在△BDE中利用余弦定理可得

BD²=BE²+ED²-2BE·EDcos∠BED,

5=x²++2××x,

解得x=1,x=-(舍去).

故BC=2,从而AC²=AB²+BC²-2AB·BCcosB=,

即AC=.

又sinB=,

故=,sinA=.

解法二:以B为坐标原点,BC为x轴正向建立直角坐标系,且不妨设点A位于第一象限.

由sinB=,则=(cosB,sinB)

=(,).

设=(x,0),则=(,).

由条件得

||==.

从而x=2,x=-(舍去).

故=(-,).

于是cosA=

==.

∴sinA==.

解法三:如下图,过A作AH⊥BC交BC于H,延长BD到P,使BD=DP,连结AP、PC.

过P作PN⊥BC交BC的延长线于N,

则HB=ABcosB=,AH=,

BN==.

而CN=HB=,

∴BC=BN-CN=2,HC=,AC==.

故由正弦定理得=.

∴sinA=.