Question

已知函数f（x）=2．

（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；

（2）若f（x₀）=，x₀∈，求cos2x₀的值．

Answer 1

考点：

三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．

专题：

计算题；三角函数的图像与性质．

分析：

（1）利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f（x）=2sinxcosx+2cos²x﹣1化为：f（x）=2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；

（2）由（1）知，f（x₀）=2sin（2x₀+）=，可求得sin（2x₀+）=，继而可求得cos（2x₀+）=﹣，而2x₀=（2x₀+）﹣，利用两角差的余弦即可求得cos2x₀．

解答：

解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos²x﹣1，得

f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

所以函数f（x）的最小正周期为π；

∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z

∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z

又x∈[0，]，f（x）=2sin（2x+）在[0，]上的单调递增区间为（0，）；

（2）由（1）知，f（x₀）=2sin（2x₀+），

∵f（x₀）=，

∴sin（2x₀+）=，

由x₀∈[，]，得2x₀+∈[，]．

从而cos（2x₀+）=﹣=﹣

∴cos2x₀=cos[（2x₀+）﹣]

=cos（2x₀+）cos+sin（2x₀+）sin

=．

点评：

本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题．