Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=

1

3

，且满足

an-an+1

an+1an

=5 （n∈N⁺），则a₆=

1

28

．

Answer 1

分析：方法一：由数列{a_n}的首项为a₁=

1

3

，且满足

an-an+1

an+1an

=5 （n∈N⁺），先令n=1，求出a₂，再令n=2，求出a₃，再令n=3，求出a₄，再令n=4，求出a₅，再令n=5，求出a₆．
方法二：由a₁=

1

3

，知

1

a1

=3，由 

an-an+1

an+1an

=

1

an+1

-

1

an

=5，知数列{

1

an

}是等差数列，

1

an

=3+5(n-1)=5n-2，所以a_n=

1

5n-2

．由此能求出a₆．

解答：解法一：∵数列{a_n}的首项为a₁=

1

3

，
且满足

an-an+1

an+1an

=5 （n∈N⁺），
∴

1 3 -a2

1 3 a 2

=5，

8

3

a2=

1

3

，a2 =

1

8

；
∴

1 8 -a3

1 8 a3

=5，

13

8

a3=

1

8

，a3=

1

13

；
∴

1 13 -a4

1 13 a4

=5，

18

13

a4=

1

13

，a4=

1

18

；
∴

1 18 -a5

1 18 a5

=5，

23

18

a5=

1

18

，a5=

1

23

；
∴

1 23 -a6

1 23 a6

=5，

28

23

a6=

1

23

，a6=

1

28

．
故答案为：

1

28

．
解法二：∵a₁=

1

3

，
∴

1

a1

=3，
∵

an-an+1

an+1an

=

1

an+1

-

1

an

=5，
∴数列{

1

an

}是等差数列，首项是3，公差是5，
因此

1

an

=3+5(n-1)=5n-2，
∴a_n=

1

5n-2

．
因此a6=

1

5×6-2

=

1

28

．
故答案为：

1

28

．

点评：考查等差数列的概念，注意运用基本量思想（方程思想）解题．通项公式和前n项求和公式建立了基本量之间的关系．解题时要注意递推思想的运用，合理地运用递推公式进行求解．