Question

在如图的多面体中，⊥平面，,，，

，，，是的中点．

(Ⅰ) 求证：平面；

(Ⅱ) 求证：；

(Ⅲ) 求二面角的余弦值.  

 

Answer 1

解：(Ⅰ)证明：∵，

∴.

  又∵,是的中点，

    ∴，

    ∴四边形是平行四边形，

    ∴ .                   ……………2分

    ∵平面，平面，

∴平面.                                 …………………4分

 

(Ⅱ) 解法1

证明：∵平面，平面，

∴，                                 

又，平面，

    ∴平面.                                  ………………………5分

过作交于，则平面.

∵平面， ∴.                   ………………………6分

∵，∴四边形平行四边形，

∴，

∴，又，

∴四边形为正方形，

    ∴，                                        ………………………7分

又平面，平面,

∴⊥平面.                                    ………………………8分

∵平面,

∴.                                          ………………………9分

解法2

∵平面，平面，平面，∴，，

又,

∴两两垂直.   ……………………5分

以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），

（2，2，0）.      …………………………6分

∴，，………7分

∴,    ………8分

∴.    …………………………9分

(Ⅲ)由已知得是平面的法向量.          …………………………10分

设平面的法向量为，∵，

∴，即，令,得. …………………………12分

设二面角的大小为，

则，                   …………………………13分

∴二面角的余弦值为                  …………………………14分