Question

【题目】已知函数.

（1）讨论在定义域内的极值点的个数；

（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：若，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）求导可得,转化问题为的变号零点个数,分别讨论,,的情况即可；

（2）转化问题为在上恒成立,设,利用导函数求得的最小值,进而求解；

（3）由（2）可得恒成立,即,则欲证,只需证,设,进而利用导函数求得的最小值大于等于0即可.

（1）解:由题,

设,令,即方程,,

当时,,则,此时没有极值点；

当时,,设方程两根为,,不妨设,

则,,则,

当或时,；

当时,,

此时,是函数的两个极值点,

当时,,设方程两根为,,

则,,所以,,

所以当时,,故没有极值点,

综上,当时,函数有两个极值点；当时,函数没有极值点.

（2）解:由题,在上恒成立,

则在上恒成立,

即在上恒成立,

设,

则,

因为,

当时,,则单调递减；当,,则单调递增；

所以,

所以

（3）证明:由（2）知,所以恒成立,

即,

欲证,

只需证,

设,则,

当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,

所以,即,

所以当时,不等式成立.