Question

已知数列{a_n}、{b_n}与函数f(x)、g(x),x∈R满足条件:b₁=b,a_n=f(b_n)=g(b_n+1)(n∈N^*).

若函数y=f(x)为R上的增函数,g(x)=f^-1(x),b=1,f(1)＜1,证明对任意的n∈N^*,a_n+1＜a_n.

Answer 1

证明：因为g(x)=f^-1(x),所以a_n=g(b_n+1)=f^-1(b_n+1),即b_n+1=f(a_n).

下面用数学归纳法证明a_n+1＜a_n(n∈N^*).

(1)当n=1时,由f(x)为增函数,且f(1)＜1,得a₁=f(b₁)=f(1)＜1,

b₂=f(a₁)＜f(1)＜1,

a₂=f(b₂)＜f(1)=a₁,

即a₂＜a₁,结论成立.

(2)假设n=k时结论成立,即a_k+1＜a_k.

由f(x)为增函数,得f(a_k+1)＜f(a_k),即b_k+2＜b_k+1,

进而得f(b_k+2)＜f(b_k+1),即a_k+2＜a_k+1.

这就是说当n=k+1时,结论也成立.

根据(1)和(2),可知对任意的n∈N^*,a_n+1＜a_n.