Question

9．设函数f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值，若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，则实数c的取值范围为（　　）

• A． （-1，9）
• B． （-9，1）
• C． （-∞，-1）∪（9，+∞）
• D． （-∞，-9）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 根据条件得f′（1）=0，f′（2）=0．求解即可求出a，b的值，若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f（x）_max＜c²在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．

解答 解：函数的f（x）的导数f′（x）=6x²+6ax+3b，
∵函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f′（1）=0，f′（2）=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$，
解得a=-3，b=4．
即f（x）=2x³-9x²+12x+8c，f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
由f′（x）＞0得0＜x＜1或2＜x＜3；
由f′（x）＜0得1＜x＜2．
故当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．
∵对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c²恒成立，
∴9+8c＜c²，
解得c＜-1或c＞9，
因此c的取值范围为（-∞，-1）∪（9，+∞）．
故选：C

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题