题目内容

已知F₁、F₂是双曲线 $数学公式$ （a＞0，b＞0）与椭圆 $数学公式$ 的共同焦点，若点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是

A.
x $数学公式$
B.
$数学公式$
C.
x $数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：先利用双曲线 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）与椭圆 $\text{[math]}$ 的共同焦点，求得a²+b²=4，再利用点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形，求得交点坐标，从而可求双曲线的标准方程，进而可求双曲线的渐近线方程
解答：不妨设P是两曲线在第一象限的交点，P（x，y）
由题意，椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点为（±2，0）
∵双曲线 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0），与椭圆 $\text{[math]}$ 的共同焦点
∴a²+b²=4①
∵点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形
∴|PF₁|=|F₁F₂|=4
∵椭圆的左准线方程为： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵P在椭圆 $\text{[math]}$ 上
∴ $\text{[math]}$
∵P在双曲线 $\text{[math]}$ 上
∴ $\text{[math]}$ ②
由①②得： $\text{[math]}$
∴b²=3，a²=1
∴ $\text{[math]}$
∴双曲线方程为： $\text{[math]}$
∴双曲线的渐近线方程是 $\text{[math]}$
故选B．
点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆与双曲线的几何性质，考查椭圆的定义的运用，属于中档题．