Question

过点P（4，2）作相互垂直的直线l₁和l₂，使得l₁与x轴的正半轴相交于点A，l₂与y轴的正半轴相交于点B，若直线AB平分四边形OAPB的面积，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：设A（a，0）、B（0，b）．得到直线AB，由题知PA⊥PB即直线MA与直线MB的斜率乘积为-1，得到a与b的关系式；又因为四边形OAPB的面积被直线AB平分得到M到直线AB与O到直线AB的距离相等得到a与b的关系式，两者联立求出a和b即可得到直线AB的方程．

解答：解：由题意，设A（a，0）、B（0，b）．则直线AB方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），
∵，PA⊥PB，∴

2-0

4-a

×

2-b

4-0

=-1，化简得b=10-2a．
∵b＞0，∴0＜a＜5．直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0
∴点P（4，2）到直线AB的距离为d₁=

|4b+2a-ab|

a2+b2

．
又∵原点O到直线AB的距离为d₂=

|-ab|

a2+b2

，
∵四边形OAPB的面积被直线AB平分，∴d₁=d₂，
∴4b+2a-ab=±ab，又∵b=10-2a．
解得

a=4 b=2

或

a= 5 2 b=5

，
∴所求直线AB的方程为x+2y-4=0或2x+y-5=0．

点评：本题考查学生理解两直线垂直的能力，灵活运用点到直线距离公式的是解决问题的关键，属中档题．