Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率等于

2

+1

．

Answer 1

分析：设双曲线的左焦点为F₁，右焦点为F₂，利用以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，可得|F₁M|=|F₁F₂|，从而可建立方程，即可求得双曲线的离心率．

解答：解：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦点为F₁，右焦点为F₂，
∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，∴|F₁M|=|F₁F₂|，
∴

b2

a

=2c
∴c²-a²=2ac
∴e²-2e-1=0
∴e=

2

±1
∵e＞1
∴e=

2

+1
故答案为：

2

+1．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．