Question

求证：若x＞0，则ln（1+x）＞

x

1+x

．

Answer 1

分析：令f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，易证f′（x）=

x

(1+x)2

＞0，y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，从而f（x）＞f（0）=0，使结论得证．

解答：证明：令f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，
∵x＞0，
∴f′（x）=

1

1+x

-

(1+x)-x

(1+x)2

=

(1+x)-1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

＞0，
∴y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
∴ln（1+x）＞

x

1+x

．

点评：本题考查不等式的证明，考查构造函数思想与导数法的应用，考查函数的单调性，属于中档题．