Question

（2013•杭州模拟）在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是BC的中点，P，Q是正方体内部及面上的两个动点，则

AM

•

PQ

的最大值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．

  5

  4

Answer 1

分析：以A为原点，分别以AB、AD、AA₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设P（x₁，y₁，z₁），Q（x₂，y₂，z₂），可得

AM

•

PQ

=（x₂-x₁）+

y2-y1

2

．分析可得，当P在AA₁上，Q在CC₁上，

AM

•

PQ

有最大值，此时，x₂-x₁=1，y₂-y₁，由此求得

AM

•

PQ

的最大值．

解答：解：以A为原点，分别以AB、AD、AA₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则 A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（1，1，1），D₁（0，1，1）．
由题意可得，M（1，

1

2

，0），设P（x₁，y₁，z₁），Q（x₂，y₂，z₂），
则有 0≤x₁≤1，0≤y₁≤1，0≤z₁≤1，0≤x₂≤1，0≤y₂≤1，0≤z₂≤1．
∴向量

AM

=（1，

1

2

，0），向量

PQ

=（ x₂-x₁，y₂-y₁，z₂-z₁），
可得 

AM

•

PQ

=（x₂-x₁）+

y2-y1

2

．
当Q在BCCB₁平面，P在ADDA₁平面时，x₂-x₁=1-0=1，为最大值，
当Q在DCCD₁平面，P在ABBA₁平面时，y₂-y₁=1-0=1，为最大值，
故当P在AA₁上，Q在CC₁上，

AM

•

PQ

 有最大值，此时，

AM

•

PQ

=1+

1

2

=

3

2

，
故选C．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，建立空间坐标系，求得有关点及向量的坐标，是解题的关键，属于中档题．