Question

F(x)=(1+

2

2x-1

)•f(x)(x≠0)是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）（　　）

A．是奇函数

B．可能是奇函数，也可能是偶函数

C．是偶函数

D．不是奇函数，也不是偶函数

Answer 1

分析：由F（x）为偶函数可得F（-x）=F（x），通过变形可得f（-x）与f（x）的关系式，结合所给条件即可判断f（x）的奇偶性．

解答：解：因为F（x）为偶函数，所以F（-x）=F（x），即（1+

2

2-x-1

）•f（-x）=(1+

2

2x-1

)•f(x)，
所以(1+

2•2x

1-2x

)•f(-x)=(1+

2(2x-1)+2

1-2x

)•f(-x)=(-1-

2

2x-1

)•f(-x)=(1+

2

2x-1

)•f(x)，
因为x≠0，所以-f（-x）=f（x），即f（-x）=-f（x），
又f（x）不恒等于零，
所以f（x）为奇函数，
故选A．

点评：本题考查抽象函数奇偶性的判断，属中档题，定义是解决有关问题的强有力工具，必须熟练准确掌握．