Question

已知sin（A+）=，A∈（0，）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+5cosAcosx+1的值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）cosA=cos（（A+）-），根据余弦函数差的公式代入求值．
（Ⅱ）将f（x）化简，f（x）=cos2x+5cosAcosx+1=2cos²x+4cosx=2（cosx+1）²-2，x∈R．根据cosx的范围求出f（x）的最大最小值，确定值域．
解答：解：（Ⅰ）因为A∈（0，）．
且sin（A+）=，
所以，
cos（A+）=．
因为cosA=cos（（A+）-）
=cos（A+）cos+sin（A）sin
=
所以 cosA=．                             
（Ⅱ）因为f（x）=cos2x+5cosAcosx+1
=2cos²x+4cosx
=2（cosx+1）²-2，x∈R．
因为cosx∈[-1，1]，
所以，当cosx=1时，f（x）取最大值6；
当cosx=-1时，f（x）取最小值-2．
所以函数f（x）的值域为[-2，6]．
点评：本题考查了三角函数的化简求最值，以及余弦函数差的公式，还考查了二次函数的性质，综合性比较强．