Question

已知函数f（x）=x+lg

1+x

1-x

．
（1）写出函数f（x）的定义域，并证明函数f（x）是奇函数；
（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用函数单调性定义给出证明．

Answer 1

（1）∵f（x）=x+lg

1+x

1-x

∴

1+x

1-x

＞0
∴-1＜x＜1即定义域为（-1，1）
又∵定义域为（-1，1）关于原点对称且f（-x）=（-x）+lg

1-x

1+x

=-x+lg(

1+x

1-x

)-1=-（x+lg

1+x

1-x

）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数
（2）函数f（x）在定义域内的单调递增．理由如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂则f（x₁）-f（x₂）=（x1+lg

1+x1

1-x1

）-（x2+lg

1+x2

1-x2

）
=（x₁-x₂）+（lg

1+x1

1-x1

- lg

1+x2

1-x2

）
∵x₁，x₂∈（-1，1），x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，1-x₁＞0，1-x₂＞0且

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

= 

2( x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

＜0
∴

1+x1

1-x2

＜

1+x2

1-x2

又∵y=lg^x在（0，+∞）单调递增
∴lg

1+x1

1-x2

＜ lg

1+x2

1-x2

∴lg

1+x1

1-x1

-lg

1+x2

1-x2

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）在（-1，1）单调递增．