Question

设关于x的一元二次方程x2-mx+

1

4

n2=0；
（1）若m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若m是从区间[0，3]内任取的一个数，n是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

（1）设事件A为“方程x²-mx+

1

4

n2=0有实根”．
当m≥0，n≥0时，方程x²-mx+

1

4

n2=0有实根的充要条件为m≥n（4分）
若m是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，n是从0，1，2三个数中任取的一个数包含的基本事件共12个：
（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一个数表示m的取值，第二个数表示n的取值．
事件A中包含9个基本事件，
事件A发生的概率为P（A）=

9

12

=

3

4

．   （9分）
（2）试验的全部结果所构成的区域为{（m，n）|0≤m≤3，0≤n≤2}．
构成事件A的区域为{（m，n）|0≤m≤3，0≤n≤2，m≥n}．
由几何概型的概率公式得到
所以所求的概率为P（A）=

3×2- 1 2 ×22

3×2

=

2

3

（14分）