题目内容
18．若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列{an}是调和数列，对于各项都是正数的数列{xn}，满足x1=2，x1+x2+x3=14，${（{x}_{n}）}^{{a}_{n}}$=${（{x}_{n+1}）}^{{a}_{n+1}}$=${（{x}_{n+2}）}^{{a}_{n+2}}$（x∈N+），则数列{xn}的通项公式为2n．分析 由题设条件知anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2．设anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2=p，有$\frac{2p}{{a}_{n+1}}$=$\frac{p}{{a}_{n}}$+$\frac{p}{{a}_{n+2}}$，由此导出xn+12=xnxn+2，所以数列{xn}是等比数列，再根据等比数列的定义，求出通项即可．
解答 解：∵数列{xn}中各项都是正数，
∴anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2．
设anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2=p，
∴$\frac{p}{{a}_{n}}$=lgxn，$\frac{p}{{a}_{n+1}}$=lgxn+1，$\frac{p}{{a}_{n+2}}$=lgxn+2，
∵{an}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，故an≠0，
∴$\frac{2p}{{a}_{n+1}}$=$\frac{p}{{a}_{n}}$+$\frac{p}{{a}_{n+2}}$．
∴2lgxn+1=lgxn+lgxn+2，
∴lgxn+12=lg（xnxn+2）．
∴xn+12=xnxn+2，
∴数列{xn}是等比数列．
设{xn}的公比为q，x1+x2+x3=14，x1=2，
∴2+2q+2q2=14，
解得q=2，或q=-3（舍去），
∴xn=2×2n-1=2n．
故答案为：2n．
点评 本题考查了数列的通项公式的求法，求证{xn}为等比数列是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
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6．若数列{an}满足$\frac{{{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}+\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=k$（k为常数），则称数列{an}为“等比和数列”，k称为公比和，已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2015=（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 21006 | D． | 21007 |
如图，平面四边形ABCD中，角∠A+∠C=180°，且AB=3，BC=CD=7，DA=5．
3．已知四面体ABCD在空间直角坐标系O-xyz中各顶点的坐标为（1，1，0），（-1，1，0），（0，-1，3），（0，3，6），将xOy平面作为正视图的投影面，则该四面体正视图面积为（ ）
| A． | 4 | B． | 6 | C． | 9 | D． | $\sqrt{13}$ |
20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在点P，使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1≠0，则该曲线的离心率e的取值范围是（ ）
| A． | （1，$\sqrt{2}$） | B． | $（{1，\sqrt{2}}]$ | C． | $（{1，\sqrt{2}+1}]$ | D． | $（1，\sqrt{2}+1）$ |