Question

13．如图，平面四边形ABCD中，角∠A+∠C=180°，且AB=3，BC=CD=7，DA=5．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理及∠C+∠A=180°，可解得$cosC=\frac{1}{2}$，结合C∈（0°，180°），即可求得∠C的值．
（Ⅱ）由三角形面积公式，分别求得得△CBD，△ABD的面积，相加即可求得四边形ABCD的面积．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理得：BD²=CD²+CB²-2CD•CBcosC=AB²+AD²-2AB•ADcosA
∵∠C+∠A=180°，
∴7²+7²-2×7×7cosC=3²+5²+2×3×5cosC⇒$cosC=\frac{1}{2}$，
∵C∈（0°，180°），
∴∠C=60°．…6分
（Ⅱ）由三角形面积公式，得：${S_{△CBD}}=\frac{1}{2}CB•CDsinC=\frac{7×7}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{49\sqrt{3}}}{4}$，
${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•ADsinA=\frac{3×5}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$
故四边形ABCD的面积 $S=\frac{{49\sqrt{3}}}{4}+\frac{{15\sqrt{3}}}{4}=16\sqrt{3}$．…12分．

点评 本题考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算能力，属于基础题．