Question

一个棱柱的三视图（正视图长为a，宽为

2

的矩形，俯视图是长为a，宽为1的矩形，侧视图是直角边长分别为1和

2

的直角三角形）和直观图如图所示，其中G是棱DF的中点．M是棱AB上一点．
（1）若M是AB的中点，求证：AG∥平面FMC；
（2）若棱AB上存在唯一的一点M，使得∠FMC=90°，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求二面角D-FC-M的大小．

Answer 1

分析：（1）取FC的中点H，连接GH，HM，利用三角形中位线定理及矩形的几何特征，我们结合线面平行的判定定理，易得AG∥平面FMC；
（2）连接DM，根据已知条件及空间线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的关系，我们易得CM⊥DM，然后根据勾股定理构造方程，即可求出a的值；
（3）要求二面角D-FC-M的大小，我们要先求出二面角D-FC-M的大小的平面角，结合二的结论，我们易得∠DPQ即为二面角D-FC-M的平面角，解三角形DPQ即可得到答案．

解答：解：（1）取FC的中点H，连接GH，HM

∵G为DF的中点，
∴GH为△FDC的中位线
∴GH∥DC且GH=

1

2

DC
∵四边形ABCD为矩形，且M是AB的中点
∴AM∥DC且AM=

1

2

DC
∴GH∥AM且GH=AM
∴四边形AMHG为平行四边形，
∴AG∥MH
又∵MH?平面FMC，AG?平面FMC，
∴AG∥平面FMC；
（2）连接DM
∵∠FMC=90°
∴CM⊥FM，
由已知FD⊥平面ABCD，且CM?平面ABCD
∴FD⊥CM
又∵FM∩FD=F
∴CM⊥平面FMD
∴CM⊥DM
设AM=t，t∈[0，a]，则BM=a-t，
由DM²+CM²=CD²得：t²+1+（a-t）²+1=a²，
即t²-at+1=0，t∈[0，a]，
由题意，可知△=a²-4=0
解得a=2，此时a=1
（3）作DP⊥FC于P，DQ⊥FM于Q，连接PQ
由（2）的结论得：CM⊥平面FDM
又∵CM?平面FMC
∴平面FMC⊥平面FDM
∵DQ⊥FM
∴DQ⊥平面FMC
又∵FC?平面FMC
∴DQ⊥FC
又∵DP⊥FC，DQ∩DP=D
∴FC⊥平面DPQ
∴FC⊥QP，
∴∠DPQ即为二面角D-FC-M的平面角，
在Rt△FDC中，∵DF=

2

，DC=2，
∴FC=

6

∴DP=

DF•DC

FC

=

2 3

3

在Rt△FDM中，DF=

2

，DM=

2

，
∴FM=2，DQ=1
在Rt△DPQ中，sin∠DPQ=

DQ

DP

=

3

2

∴∠DPQ=60°
即二面角D-FC-M的大小为60°

点评：本题考查的知识点是直线 与平面平等的判定，二面角的求法，根据三视图判断已知几何中的相关直线的位置关系及大小是解答本题的基础．