Question

如图，圆M过点A（-

3

，0）、B（

3

，0）、C（0，-3），且与y轴的正半轴交于点D．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）已知弦EF过原点O．
（ⅰ）若|EF|=

15

，求EF所在的直线方程；
（ⅱ）若弦DF、CE与x轴分别交于P、Q两点，求证：|OP|=|OQ|．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）解：设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，由已知得

3- 3 D+F=0 3+ 3 D+F=0 9-3E+F=0

，由此能求出圆M的方程．
（Ⅱ）（i）设EF的方程为y=kx，联立

x2+y2+2y-3=0 y=kx

，得（k²+1）x²+2kx-3=0，由此利用弦长公式能求出EF所在的直线方程．
（ii）联立

x2+y2+2y-3=0 y= 3 x

，得4x²+2

3

x-3=0，解得E（

- 3 + 15

4

，

-3+3 5

4

），F（

- 3 - 15

4

，

-3-3 5

4

），在x²+y²+2y-3=0中，令x=0，得D（0，1）．则直线DF：

y-1

x

=

-3-3 5 4 -1

- 3 - 15 4

，直线CE：

y+3

x

=

-3+3 5 4 +3

- 3 + 15 4

，由此能证明|OP|=|OQ|．

解答： （Ⅰ）解：设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圆M过点A（-

3

，0）、B（

3

，0）、C（0，-3），
∴

3- 3 D+F=0 3+ 3 D+F=0 9-3E+F=0

，解得D=0，F=-3，E=2，
∴圆M的方程为：x²+y²+2y-3=0．
（Ⅱ）（i）解：设EF的方程为y=kx，
联立

x2+y2+2y-3=0 y=kx

，得（k²+1）x²+2kx-3=0，
△=4k²+12（k²+1）＞0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则：x1+x2=-

2k

k2+1

，x₁x₂=-

3

k2+1

，
∵|EF|=

15

，∴

(1+k2)[(- 2k k2+1 )2+ 12 k2+1 ]

=

15

，
解得k=

3

或k=-

3

（舍）
∴EF所在的直线方程为y=

3

x．
（ii）证明：联立

x2+y2+2y-3=0 y= 3 x

，得4x²+2

3

x-3=0，
解得E（

- 3 + 15

4

，

-3+3 5

4

），F（

- 3 - 15

4

，

-3-3 5

4

），
在x²+y²+2y-3=0中，令x=0，得D（0，1）．
∴直线DF：

y-1

x

=

-3-3 5 4 -1

- 3 - 15 4

，
令y=0，得|OP|=|x|=

3 + 15

7+3 5

=

4 15 -8 3

4

；
直线CE：

y+3

x

=

-3+3 5 4 +3

- 3 + 15 4

，
令y=0，得：|OQ|=

15 - 3

3+ 5

=

4 15 -8 3

4

．
∴|OP|=|OQ|．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查直线方程的求法，考查线段长相等的证明．解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．