Question

在三棱锥A-BCD中，AD⊥面BCD，BD⊥CD，AD=BD=2，，E、F分别是AC和BC的中点．
（1）求三棱锥E-CDF的体积；
（2）求二面角E-DF-C的大小（用反三角函数值表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D为原点，以DB、DC、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设点E到平面BCD的距离为d，则，然后根据锥体的体积公式解之即可．
（2）平面BCD的一个法向量为，然后求出平面DEF一个法向量，最后根据设二面角E-DF-C的大小为θ，由图形可知θ是锐角，则二面角的余弦值为，从而求出二面角．
解答：解：（1）以D为原点，以DB、DC、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），A（0，0，2），，…（2分），
因为AD⊥平面BCD，所以平面BCD的一个法向量为，…（3分）
，
设点E到平面BCD的距离为d，则，
即三棱锥E-CDF的高为1，…（4分）
因为点F是BC的中点，所以S_△CDF=S_△BCD，…（5分）
所以三棱锥E-CDE的体积_△CDF=．…（7分）
（2），，
设平面DEF一个法向量为，则，，从而，，即，…（9分）
取，则x=z=3，．…（10分）
设二面角E-DF-C的大小为θ，由图形可知θ是锐角，
所以．…（11分）
因此，二面角E-DF-C的大小为．…（12分）

点评：本题主要考查了锥体的体积计算，以及二面角平面角的度量，同时考查了利用空间向量的方法求解立体几何问题，属于中档题．