Question

已知扇形的周长为6，该扇形的中心角为1，求弓形的面积．

Answer 1

分析：法一：设扇形的半径为r，弧长为l，求出半径与弧长，可得扇形面积，再过A作AD⊥OB于D，求△AOB的面积，即可得到结论；
法二：过O作OC⊥AB于C，求△AOB的面积，即可得到结论．

解答：解：法一：设扇形的半径为r，弧长为l，则由已知可得2r+l=6，

l

r

=1，解得r=2，l=2．
所以S_扇=

1

2

l•r=2．
过A作AD⊥OB于D，如图（1）所示，则在Rt△AOD中，AD=r•sin 1=2sin 1，
所以S_△AOB=

1

2

OB•AD=

1

2

×2×2sin 1=2sin 1，
所以S_弓=S_扇-S_△AOB=2（1-sin 1），
法二：如图（2）所示，过O作OC⊥AB于C，在Rt△AOC中，OC=OA×cos∠AOC，
由法一知OA=2，∠AOC=

1

2

 rad，所以OC=2cos 

1

2

，且AC=OA•sin 

1

2

=2sin 

1

2

，
所以S_△AOB=

1

2

AB•OC=

1

2

•2AC•OC=

1

2

•4sin 

1

2

•2cos 

1

2

=4sin 

1

2

•cos 

1

2

，
而由法一知S_扇=2，所以S_弓=S_扇-S_△AOB=2-4sin 

1

2

•cos 

1

2

．

点评：本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．