Question

【题目】已知圆，动点，线段QF与圆F相交于点P，线段PQ的长度与点Q到y轴的距离相等．

（Ⅰ）求动点Q的轨迹W的方程；

（Ⅱ）过点作两条互相垂直的直线与W的交点分别是M和N（M在N的上方，A，M，N为不同的三点），求向量在y轴正方向上的投影的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由题意可得点Q的轨迹满足抛物线的定义，确定定点及定直线即可求得轨迹方程；（Ⅱ）设出直线AM的方程，与抛物线方程联立得关于y的一元二次方程，利用韦达定理可得，由可得，利用对勾函数的单调性可求得向量在y轴正方向上的投影的范围.

（Ⅰ）由题知点Q到F的距离等于Q到y轴的距离加2

所以等于Q到直线的距离，由抛物线的定义可知：

点Q的轨迹W是以为焦点，为准线的抛物线，

所以动点Q的轨迹W的方程为．

（Ⅱ）设直线AM的方程为，与联立，得

，

则，即，

∵，∴或，

设，则，即，

，直线AN的方程为，则，

则向量在y轴正方向上的投影为

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，

向量在y轴正方向上的投影的取值范围为.