Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*）
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项之和S_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*），两边同除以2ⁿ，即可证明数列{}是等差数列；
（2）求出数列{}的通项，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）先错位相减求和，再利用放缩法，即可证得结论．
解答：（1）证明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ（≥2，且n∈N^*）
∴
∴
∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；
（2）解：由（1）得
∴a_n=；
（3）解：∵S_n=++…+
∴2S_n=++…+
两式相减可得-S_n=1+2²+2³+…+2ⁿ-=（3-2n）•2ⁿ-3
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3＞（2n-3）•2ⁿ
∴．
点评：本题考查数列的通项公式及前n项和，考查不等式的证明，考查构造法的运用，确定数列的通项，正确求和是关键．