Question

设函数的图象与直线相切于．

（1）求在区间上的最大值与最小值；

（2）是否存在两个不等正数，当时，函数的值域也是，若存在，求出所有这样的正数；若不存在，请说明理由；

（3）设存在两个不等正数，当时，函数的值域是，求正数的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）。依题意则有：

，所以，解得，所以；

，由可得或。

在区间上的变化情况为：

	0		1		3		4
		+	0	—	0	+
	0	增函数	4	减函数	0	增函数	4

所以函数在区间上的最大值是4，最小值是0。

（Ⅱ）由函数的定义域是正数知，，故极值点不在区间上；

（1）若极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点；

（2）若在上单调增，即或，

则，即，解得不合要求；

（3）若在上单调减，即，则，

两式相减并除得：，                ①

两式相除并开方可得，

即，整理并除以得：，                  ②

代入①有，与矛盾。

（Ⅲ）同（Ⅱ），极值点不可能在区间上；

（1）若极值点在区间，此时，

故有①或②

①由，知，，当且仅当时，；

再由，知，，当且仅当时，

由于，故不存在满足要求的值。

②由，及可解得，

所以，知，；

即当时，存在，，

且，满足要求。

（2）若函数在区间单调递增，则或，

且，故是方程的两根，

由于此方程两根之和为3，故不可能同在一个单调增区间；

（3）若函数在区间单调递减，则，，

两式相除并整理得，由知，

即，

再将两式相减并除以得，，

即，所以是方程的两根，令，

则，解得，

即存在，满足要求。

综上可得，当时，存在两个不等正数，使时，

函数的值域恰好是。