Question

已知

a

=（cos

3θ

2

，sin

3θ

2

），

b

=(cos

θ

2

，-sin

θ

2

)，且θ∈[0，

π

3

]
（I）求

a • b

| a + b |

的最值；
（II）是否存在k的值使|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|？

Answer 1

分析：（I）由数量积的定义可得

a • b

| a + b |

=cosθ-

1

2cosθ

，下面换元后由函数的最值可得；
（II）假设存在k的值满足题设，即|k

a

+

b

|2=3|

a

-k

b

|2，然后由三角函数的值域解关于k的不等式组可得k的范围．

解答：解：（I）由已知得：

a

•

b

=cos

3θ

2

cos

θ

2

-sin

3θ

2

sin

θ

2

=cos2θ
∴|

a

+

b

|=

a2 +2 a b + b2

=2cosθ
∴

a • b

| a + b |

=

cos2θ

2cosθ

=cosθ-

1

2cosθ

令cosθ=t，t∈[

1

2

，1]
∴cosθ-

1

2cosθ

=t-

1

2t

，（t-

1

2t

）′=1+

1

2t2

＞0
∴t-

1

2t

为增函数，其最大值为

1

2

，最小值为-

1

2

∴

a + b

| a + b |

的最大值为

1

2

，最小值为-

1

2

（II）假设存在k的值满足题设，即|k

a

+

b

|2=3|

a

-k

b

|2
∵|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=cos2θ     
∴cos2θ=

1+k2

4k

      
∵θ∈[0，

π

3

]，∴-

1

2

≤cos2θ≤1                                
∴-

1

2

≤

1+k2

4k

≤1
∴0＜k≤2+

3

故存在k的值使|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|

点评：本题为向量的综合应用，涉及向量的模长和导数法求最值，属中档题．