Question

已知

a

=（cos

3θ

2

，sin

3θ

2

），

b

=（cos

θ

2

，-sin

θ

2

），且θ∈[0，

π

3

]．
（1）若|

a

+

b

|=1，试求θ的值；
（2）求

a • b

| a + b |

的最值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式求出

a

•

b

的值，再由 |

a

+ 

b

|2=1求出cosθ=

1

2

，再由θ的范围求出θ的值．
（2）化简

a • b

| a + b |

为cosθ-

1

2cosθ

，令 t=cosθ，则有

1

2

≤t≤1，利用导数判断函数 （t-

1

2t

） 在[

1

2

，1]上是增函数，由此求得函数的最值．

解答：解：（1）由题意可得

a

•

b

=cos

3θ

2

cos

θ

2

+sin

3θ

2

（-sin

θ

2

）=cos（

3θ

2

+

θ

2

）=cos2θ，
∴|

a

+ 

b

|2=

a

2+

b

2 +

a

•

b

=2+2cos2θ=4cos²θ=1，∴cosθ=

1

2

．
再由θ∈[0，

π

3

]可得 θ=

π

3

．
（2）∵

a • b

| a + b |

=

cos2θ

2cosθ

=cosθ-

1

2cosθ

，令 t=cosθ，则有

1

2

≤t≤1，∴（t-

1

2t

）′=1+

1

2t2

＞0，
∴（t-

1

2t

） 在[

1

2

，1]上是增函数，故当t=

1

2

时，（t-

1

2t

） 取得最小值为-

1

2

，当t=1时，（t-

1

2t

） 取得最大值为

1

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，利用导数研究函数的单调性，求函数的最值，属于中档题．