Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．当轴时，的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线、的斜率分别为、，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由已知条件得b2＝a2﹣1，利用通径公式得出|AB|的表达式，再由△ABM的面积得出有关a的方程，求出a的值，可得出椭圆C的标准方程；

（2）对直线l与x轴垂直、与y轴垂直以及与斜率存在且不为零三种情况讨论．在前两种情况下可直接进行验证；在第三种情况下，设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理，通过化简计算得出结论成立．

（1）依题意得，即，

所以当时，解得，当轴时，，

因为，所以，解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）当与轴重合时，，满足条件；当与轴垂直时，满足条件，

当与轴不重合且不垂直时，设为，，，

把代入，得，

则，，

因为 ，

而，

所以.