Question

18．已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，a=n，b=n+1，c=n+2．n∈N，C=2A．
（1）求n的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理以及余弦定理建立方程关系即可求n的值；
（2）根据三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：（1）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
即$\frac{n}{sinA}=\frac{n+2}{sin2A}=\frac{n+2}{2sinAcosA}$，
即cosA=$\frac{n+2}{2n}$，
又cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
即$\frac{（n+1）^{2}+（n+2）^{2}-{n}^{2}}{2（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+2}{2n}$，
即$\frac{{n}^{2}+6n+5}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+2}{n}$，
即$\frac{（n+1）（n+5）}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+5}{n+2}$=$\frac{n+2}{n}$，
即n²+5n=n²+4n+4，
即n=4．
（2）∵n=4，∴a=4，b=5，c=6，
则cosA=$\frac{4+2}{2×4}=\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
即sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-（\frac{3}{4}）^{2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×6×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{15\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理，三角形的面积公式是解决本题的关键．