Question

(07年四川卷文)（12分）如图，平面平面，，，直线与直线所成的角为60°，又，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求多面体的体积．

Answer 1

解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．

（Ⅰ）∵平面平面，，平面．

∴平面

又∵平面

∴

（Ⅱ）取的中点，则．连接、．

 

∵平面平面，平面平面，．

∴平面．

∵，∴，从而平面．

作于，连结，则由三垂线定理知．

从而为二面角的平面角．

∵直线与直线所成的角为60°，

∴ ．

在中，由勾股定理得．

在中，．

在中，．

在中，

故二面角的大小为

（Ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系．

 

设，

有，，．

，

由直线与直线所成的角为60°，得

即，解得．

∴，

设平面的一个法向量为，则

由，取，得

取平面的一个法向量为

则

由图知二面角为锐二面角，

故二面角的大小为．

（Ⅲ）多面体就是四棱锥