题目内容
【题目】已知函数 
，（e为自然对数的底数，a，b∈R），若f（x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线．
（1）求a，b的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数 
，若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．
【答案】
（1）解： 
，
∵f（x）在x=0处取得极值，∴f'（0）=0，即b=0，
此时 
，
设直线x﹣ey=0与曲线y=f（x）切于点P（x0，y0），由题意得 
，解之得a=1；
（2）解：记函数 
，
当x≥2时，F'（x）＜0恒成立，
当0＜x＜2时， 
，
从而 
∴F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递减．
又 
，∴F（1）F（2）＜0，
又曲线y=F（x）在[1，2]上连续不间断，
∴由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，
∴x∈（0，x0），F（x）＞0；x∈（x0，+∞），F（x）＜0，
故 
，
从而 
，
∴ 
．
由函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，且曲线y=h（x）在（0，+∞）上连续不断，
知h'（x）≥0在（0，x0），（x0，+∞）上恒成立．
①当x＞x0时， 
在（x0，+∞）上恒成立，
即 
在（x0，+∞）上恒成立，记 
，则 
，
从而u（x）在（x0，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增，∴ 
．
故 在（x0，+∞）上恒成立，只需 
，∴ 
．
②当0＜x＜x0时， 
，
当c≤0时，h'（x）＞0在（0，x0）上恒成立，
综上所述，实数c的取值范围为：
【解析】（1）求出原函数的导函数，由f（x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线，可得b=1，且 ，由此可得a值；（2）记函数 
，求其导函数，可得当x≥2时，F'（x）＜0恒成立，当0＜x＜2时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递减．由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，有 ，得到 ，分离参数c后利用导数求得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数
在
上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在
内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．
