Question

（2012•江苏三模）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为为

3 3

2

，且b=

3

，求a+c的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0，得到cosB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由B的度数求出sinB和cosB的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinB及已知的面积代入求出ac的值，利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，再利用完全平方公式整理后，将b，ac及cosB的值代入，开方即可求出a+c的值．

解答：解：（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A，
∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，
将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，
在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
则B=

π

3

；
（2）∵△ABC的面积为

3 3

2

，sinB=sin

π

3

=

3

2

，
∴S=

1

2

acsinB=

3

4

ac=

3 3

2

，
∴ac=6，又b=

3

，cosB=cos

π

3

=

1

2

，
∴利用余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=（a+c）²-18=3，
∴（a+c）²=21，
则a+c=

21

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．