题目内容

(2012•江苏三模)如图,在平面直角坐标系xoy中,圆C:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),E是圆C上的一个动点,EF的垂直平分线PQ与CE交于点B,与EF交于点D.
(1)求点B的轨迹方程;
(2)当D位于y轴的正半轴上时,求直线PQ的方程;
(3)若G是圆上的另一个动点,且满足FG⊥FE.记线段EG的中点为M,试判断线段OM的长度是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
分析:(1)由已知|BF|=|BE|,可得|BC|+|BF|=|BC|+|BE|=|CE|=4,利用椭圆的定义,可求点B的轨迹方程;
(2)当点D位于y轴的正半轴上时,可求E,D的坐标,利用PQ是线段EF的垂直平分线,可得直线PQ的方程;
(3)设点E,G的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则点M的坐标为(
x1+x2
2
,  
y1+y2
2
)
,利用点E,G均在圆C上,且FG⊥FE,从而可求M点到坐标原点O的距离为定值.
解答:解:(1)由已知|BF|=|BE|,所以|BC|+|BF|=|BC|+|BE|=|CE|=4,
所以点B的轨迹是以C,F为焦点,长轴为4的椭圆,所以B点的轨迹方程为
x2
4
+
y2
3
=1
;   …(4分)
(2)当点D位于y轴的正半轴上时,因为D是线段EF的中点,O为线段CF的中点,所以CE∥OD,且CE=2OD,
所以E,D的坐标分别为(-1,4)和(0,2),…(7分)
因为PQ是线段EF的垂直平分线,所以直线PQ的方程为y=
1
2
x+2

即直线PQ的方程为x-2y+4=0.         …(10分)
(3)设点E,G的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则点M的坐标为(
x1+x2
2
,  
y1+y2
2
)

因为点E,G均在圆C上,且FG⊥FE,
所以(x1+1)2+y12=16(x2+1)2+y22=16,(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,…(13分)
所以x12+y12=15-2x1x22+y22=15-2x2,x1x2+y1y2=x1+x2-1.
所以MO2=
1
4
[(x1+x2)2+(y1+y2)2]
=
1
4
[(x12+y12)+(x22+y22)+2(x1x2+y1y2)]
=
1
4
[15-2x1+15-2x2+2(x1+x2-1)]=7

即M点到坐标原点O的距离为定值,且定值为
7
.…(16分)
点评:本题考查椭圆的定义与标准方程,考查直线的方程,考查两点间的距离,确定椭圆的方程,表示出两点间的距离是关键.
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