Question

（本小题满分12分）

已知为等比数列，；为等差数列的前n项和，.

（1） 求和的通项公式；

（2） 设，求.

 

Answer 1

【答案】

（1）a_n=4^n-1. b_n=b₁+(n-1)d=3n-1.（2）T_n=（n-）4ⁿ+

【解析】

试题分析：（1） 设{a_n}的公比为q，由a₅=a₁q⁴得q=4

所以a_n=4^n-1.            4分

设{ b_n }的公差为d，由5S₅=2 S₈得5(5 b₁+10d)=2(8 b₁+28d)，

,

所以b_n=b₁+(n-1)d=3n-1.          8分

（2） T_n=1·2+4·5+4²·8+ +4^n-1(3n-1),①

4T_n=4·2+4²·5+4³·8+ +4ⁿ(3n-1),②

②-①得：3T_n=-2-3(4+4²+ +4ⁿ)+4ⁿ(3n-1)       10分

= -2+4(1-4^n-1)+4ⁿ(3n-1)

=2+(3n-2)·4ⁿ           12分

∴T_n=（n-）4ⁿ+

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的的基础知识，“错位相消法”求和。

点评：中档题，本解答从研究的关系入手，确定得到通项公式a_n=4^n-1.及b_n =3n-1，从而进一步明确。“分组求和法”、“裂项相消法”、“错位相消法”是高考常常考到数列求和方法。