Question

【题目】已知数列满足，，若，则下列判断正确的是（ ）

A.当时，数列是有穷数列B.当时，数列是有穷数列

C.当数列是无穷数列时，数列单调D.当数列单调时，数列是无穷数列

Answer 1

【答案】D

【解析】

由条件可得，即，若存在正整数，当=0时有，，此时数列为有穷数列.若恒不为0，则由，结合，，则.数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.由此分析选项得到答案.

由，则，所以.

即，所以数列为等差数列.

所以

设数列，

数列是单调递增的等差数列，

若存在正整数，当=0时有，，此时数列为有穷数列.

若恒不为0，则由，结合，，则.

数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.

故只要对任意的非零自然数，都不为0，则为无穷数列.

例如当或时，恒不为0，则为无穷数列，所以A, B不正确.

由递推关系有：

取时，

则由上的推导可知为无穷数列.

此时数列不是单调数列，所以C不正确.

当数列为有穷数列时，由前面的推导有，存在正整数，当=0时有，

此时数列为.

由，若数列单调，则全为正或全为负.

由 则全为正，而=0.

这与不相符合，即当数列为有穷数列时，数列不可能单调.

所以当数列单调时，数列一定有无穷多项.所以D正确.

故选：D