Question

已知函数（为常数，为自然对数的底）

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数在上无零点，求的最小值；

（3）若对任意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）时，

由得     得

故的减区间为  增区间为           

（2）因为在上恒成立不可能

故要使在上无零点，只要对任意的，恒成立

即时，                     

令

则

再令

    于是在上为减函数

故在上恒成立

在上为增函数  在上恒成立

又故要使恒成立，只要

若函数在上无零点，的最小值为         

（3）

当时，，为增函数

当时，，为减函数

        函数在上的值域为                    

        当时，不合题意

当时，

故

①                                   

此时，当变化时，，的变化情况如下

	—	0	+
	↘	最小值	↗

时，，

任意定的，在区间上存在两个不同的 

使得成立，

当且仅当满足下列条件

即   ②

即   ③                     

令

  令得

当时，  函数为增函数

当时，  函数为减函数

所以在任取时有即②式对恒成立       

由③解得   ④

由①④ 当时

对任意，在上存在两个不同的使成立