Question

设集合A={x|4^x-2^x+2+a=0，x∈R}．
（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；
（2）若对于任意a∈B，不等式x²-6x＜a（x-2）恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

（1）令2^x=t（t＞0），设f（t）=t²-4t+a，由f（t）=0在（0，+∞）上仅有一根或两相等实根，
①f（t）=0有两等根时，△=0?16-4 a=0?a=4．
验证：t²-4t+4=0?t=2∈（0，+∞）这时x=1．
②f（t）=0有一正根和一负根时，f（0）＜0?a＜0．
③若f（0）=0，则a=0，此时4^x-2•2^x=0?2^x=0，（舍去），或2^x=4，∴x=2，此时A中只有一个元素．
∴实数a的取值集合为B={a|a≤0或a=4}．
（2）要使原不等式对任意a∈（-∞，0]∪{4}恒成立，即g（a）=（x-2）a-（x²-6x）＞0恒成立．
只须

x-2≤0 g(4)＞0

?

x≤2 x2-10x+8＜0

?5-

17

＜x≤2．