Question

已知△ABC的内角A，B，C分别对应a，b，c，向量

m

=(-bc，

3

cos

A

2

)，

n

=(

1+cos2A

b2+c2-a2

，2sin

A

2

)，且

m

•

n

=1．
（1）求角度A；
（2）若

1+sin2B

cos2B

=-3，求tanC．

Answer 1

分析：（1）根据

m

•

n

=1，根据

m

和

n

建立等式化简整理求得sin(A-

π

6

)=

1

2

进而求得A-

π

6

，则A可求．
（2）利用二倍角公式对题设等式化简求得sinB=2cosB，进而求得tanB，进而根据tanC=-tan（A+B）利用正切的两角和公式求得答案．

解答：解：（1）因为

m

• 

n

 =1，所以-

1+cos2A

2

•

2bc

b2+c2-a2

+

3

•2sin

A

2

cos

A

2

=1
即

3

sinA-cosA=1，即sin(A-

π

6

)=

1

2

因为0＜A＜，则-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，所以A=

π

3

（2）由题知

1+sin2B

cos2B

=-3，得

(sinB+cosB)2

cos2B-sin2B

=-3，即

sinB+cosB

cosB-sinB

=-3
得sinB=2cosB，即tanB=2
所以，tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=-

2+ 3

1-2 3

=

8+5 3

11

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换的应用，二倍角，两角和的化简求值．解题的关键是对三角函数基本公式的熟练记忆．