Question

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AA₁＝4，点D在AB上．

(Ⅰ)求证：AC⊥B₁C；

(Ⅱ)若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；

(Ⅲ)当时，求二面角B―CD―B₁的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：在△ABC中，因为AB＝5，AC＝4，BC＝3， 　　所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC． 　　因为直三棱柱ABC－A1B1C1，所以CC1⊥AC． 　　因为BC∩AC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C． 　　所以AC⊥B1C　　4分 　　(Ⅱ)证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE． 　　因为直三棱柱ABC－A1B1C1，D是AB中点，所以侧面BB1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线，所以DE∥AC1．因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD　　8分 　　(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C－xyz．则B(3，0，0)，A(0，4，0)，A1(0，4，4)，B1(3，0，4)． 　　设D(a，b，0)(，)， 　　因为点D在线段AB上，且，即． 　　所以，，，，，． 　　平面BCD的法向量为．设平面B1CD的法向量为， 　　由，，得， 　　所以，，．所以． 　　所以二面角的余弦值为　　12分