题目内容

(理科)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,CC1>AC,∠ACB=90°,异面直线AC1与BA1所成角的大小为arccos
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(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(2)设D为线段A1B1的中点,求二面角A-C1D-A1的大小.(结果用反三角函数表示)
分析:(1)欲求三棱柱ABC-A1B1C1的体积,只需求出底面积和高,因为底面为直角三角形,且两条直角边都为2,所以只需求出高CC1,利用异面直线AC1与BA1所成角的大小为arccos
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,先借助空间向量,用CC1的长度表示此角的余弦,再与所给的值比较,即可求出CC1,进而求出三棱锥的体积.
(2)利用空间向量来求二面角的大小,只需求出两个半平面的法向量所成角,再结合图形判断法向量所成角是二面角还是其补角.
解答:解:(1)如图,以CA所在直线为ix轴,CB所在直线为y轴,CC1所在直线为z轴建立平面直角坐标系.
则A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,O,c),B1(0,2,c),C1(0,0,c)
AC1
=(-2,0,c),
BA1
=(2,-2,c)
∴cos<
AC1
BA1
>=
AC1
• BA1
|
AC1
||
BA1
|
=
-4+c2
4+c2 
8+c2
=
30
10

∴c=4,∴CC1=4
S三棱柱ABC-A1B1C1=
1
2
AC•BC•CC1=
1
2
×2×2×4=8
(2)∵D为线段A1B1的中点,∴D(1,1,4)
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴AA1⊥平面A1B1C1
AA1
为平面A1B1C1的法向量.
AA1
=(0,0,4)
设平面AC1D的法向量为
n
=(x,y,z)
AC1
=(-2,0,4),
AD
=(-1,1,4)
∴-2x+4z=0,-x+y+4z=0
令z=1,则x=2,y=-2,∴
n
=(2,-2,1)
cos<
AA1
n
>=
4
4
4+4+1
=
1
3

∴平平面A1B1C1的法向量与平面AC1D的法向量所成角为arccos
1
3

有图知,平平面A1B1C1的法向量与平面AC1D的法向量所成角即为二面角A-C1D-A1
∴二面角A-C1D-A1的大小为arccos
1
3
点评:本题主要考查了在直三棱柱中求异面直线所成角,以及二面角的大小的方法,考查了学生的空间想象力,识图能力,以及计算能力.
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