题目内容
【题目】设椭圆
： 
（
）的左右焦点分别为
， 
，下顶点为
，直线
的方程为
.
（Ⅰ）求椭圆
的离心率；
（Ⅱ）设
为椭圆上异于其顶点的一点， 
到直线
的距离为
，且三角形
的面积为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若斜率为
的直线
与椭圆
相切，过焦点
， 
分别作
， 
，垂足分别为
， 
，求
的最大值.
【答案】（1）
（2）4
【解析】试题分析：（Ⅰ） 由直线斜率为
可得
，从而可得结果；（Ⅱ）（1）先求得
点坐标
，根据三角形面积可得
的值，从而可得椭圆方程,(2) 设直线
： 
代入椭圆
的方程
中，
得
,判别式为零，及点到直线的距离公式可将
表示为
的函数，再利用基本不等式求解即可.
试题解析：（Ⅰ）由已知
，则
.
， 
（Ⅱ）（1）设点
，于是
，
所以
或
而
无解；
由
得
.
又因为三角形
面积
，所以
，
于是，椭圆的方程为
.
（2）设直线
： 
代入椭圆
的方程
中，
得
由已知
，即
同时
， 
①当
时， 
所以
当且仅当
时等号成立
而
时， 
，因此
②当
时，四边形
为矩形
此时
综上①②可知， 
的最大值为4.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程和最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（Ⅱ）就是用的这种思路，利用均值不等式法
的最大值的.
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