Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．

Answer 1

分析：本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力．
（1）若要证明AB⊥BC，可以先证明AB⊥平面BC₁，由线面垂直的性质得到线线垂直．
（2）要判断直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ的大小关系，可以先做出二面角的平面角，再根据三角函数的单调性进行解答．也可以根据（1）的结论，以以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系利用空间向量，求出两个角的正弦值，再根据三角函数的单调性解答．

解答：解：（Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A₁ABB₁内作AD⊥A₁B于D，
由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩侧面A₁ABB₁=A₁B，得
AD⊥平面A₁BC，又BC?平面A₁BC，
所以AD⊥BC．
因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
则AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，从而BC⊥侧面A₁ABB₁，
又AB?侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC．

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知∠ACD是直线AC与平面A₁BC所成的角，∠ABA₁是二面角A₁-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA₁=φ，
于是在Rt△ADC中，sinθ=

AD

AC

，在Rt△ADB中，sinφ=

AD

AB

，
由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又0＜θ，φ＜

π

2

，所以θ＜φ，
解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA₁=a，AC=b，
AB=c，则B（0，0，0），A（0，c，0），C(

b2-c2

，0，0)，A1(0，c，a)，
于是

BC

=(

b2-c2

，0，0)，

BA1

=(0，c，a)，

AC

=(

b2-c2

，-c，0)，

AA1

=(0，0，a)．
设平面A₁BC的一个法向量为n=（x，y，z），
则由

n• BA1 =0 n• BC =0

．得

cy+az=0 b2-c2x =0

．
可取n=（0，-a，c），于是n•

AC

=ac＞0，

AC

与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角．sinθ-cosβ=

n• AC

|n|•| AC |

=

ac

b a2+c2

，cosφ=

BA1 • BA

| BA1 |•| BA |

=

c

a2+c2

，
所以sinφ=

a

a2+c2

，
于是由c＜b，得

ac

b a2+c2

＜

a

a2+c2

，
即sinθ＜sinφ，又0＜θ，φ＜

π

2

，所以θ＜φ，

点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解．