Question

已知函数f（x）=x²+2xsinθ-1，x∈[]，θ∈[0，2π）．
（1）当时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求θ的范围，使f（x）在区间[]上是单调函数．

Answer 1

解：（1）当时，f（x）=x²+x-1=（x+）²-，
由于，故当x=时，f（x）有最小值；当x=时，f（x）有最大值…（6分）
（2）因为f（x）=x²+2xsinθ-1的对称轴为x=-sinθ，
又欲使f（x）在区间上是单调函数，则-sinθ≤，或-sinθ≥，即sinθ≥或sinθ≤-．
因为θ∈[0，2π]，故所求θ的范围是．…（6分）
分析：（1）当时，f（x）=x²+x-1=（x+）²-，利用二次函数的性质求得f（x）的最大值和最小值．
（2）因为f（x）=x²+2xsinθ-1的对称轴为x=-sinθ，由题意可得-sinθ≤，或-sinθ≥，求得sinθ的范围，再结合θ的范围，确定出θ的具体范围．
点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属于中档题．