Question

【题目】已知函数，，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）求出导函数，然后根据导函数的符号判断出函数的单调性．（2）由题意可得问题等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”．所以分别求出函数在上的最大值和函数在上的最大值，根据题意建立不等式组，解不等式组可得所求结果．

(1)∵，

∴．

①当时，，此时在上单调递增；

②当时，

若，则单调递减；若，则单调递增．

综上可得，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）当时，，

∴，

∴当时，单调递增；当时，单调递减．

∴当时，．

又在上的最大值为中的较大者．

由题意得“，，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”，

∴，即，解得．

∴实数的取值范围是．