Question

如图1，在直角梯形中，，，且．

现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面；

（3）求点到平面的距离.

  

图                                    图

 

Answer 1

【答案】

（1）利用线线平行证明线面平行；（2）利用线线垂直证明线面垂直；（3）利用等体积法求解点到面平面的距离

【解析】

试题分析：

解：（1）证明：取中点，连结．

在△中，分别为的中点， 所以∥，且．

由已知∥，， 所以∥，且．           3分

所以四边形为平行四边形． 所以∥．                4分

又因为平面，且平面，所以∥平面．         5分

（2）证明：在正方形中，．

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面．  所以．               7分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，

所以．所以．    8分

所以平面．                                        10分

（3）解法一：由（2）知，平面

又因为平面， 所以平面平面．            11分

过点作的垂线交于点，则平面

所以点到平面的距离等于线段的长度                12分   

在直角三角形中，

所以

所以点到平面的距离等于.                          14分

解法二：由（2）知，

所以

                      12分

又，设点到平面的距离为

则， 所以

所以点到平面的距离等于.                          14分

考点：本题考查了空间中的线面关系

点评：立体几何问题主要是探求和证明空间几何体中的平行和垂直关系以及空间角、体积等计算问题．对于平行和垂直问题的证明或探求，其关键是把线线、线面、面面之间的关系进行灵活的转化．在寻找解题思路时，不妨采用分析法，从要求证的结论逐步逆推到已知条件．